线代启示录 | 关于分块上下三角矩阵一个性质的证明

今天在论文中看到一句话，“the determinant of a block triangular matrix is given by the product of the determinants of the diagonal submatrices”，翻译过来就是“分块上下三角矩阵的行列式等于对角线子矩阵行列式的乘积”。
为了证明这个性质，我们先来证明行列式的几个其他性质。

首先给出行列式的定义，

定义

n阶方阵 \(A\) 的行列式可定义为

$$|A|=\sum_{(i_1 i_2\cdots i_n)} (-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn}$$

其中，$(i_1i_2\cdots i_n)$为行标的某一排列，$\tau(\cdot)$表示排列的逆序数。

给出矩阵

$$A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\\ \end{matrix} \right]$$

性质1

交换行列式的任意两行（列），行列式的值变号。
证：
设 \(A\) 为n阶行列式，不妨对第$k$列和第$l$列作列交换（$k<l$），得到 \(B\)，其中

$$b_{ij}=\left\{ \begin{matrix} a_{ij} & j\neq k,l \\ a_{ik} & j=l \\ a_{il} & j=k \end{matrix}\right.$$

由行列式定义，

$$|A| = \sum_{(i_1 i_2\cdots i_n)} (-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn}$$

性质2

若A中有相同的两列（行），则$det A = 0$
证：

性质3

$$\Large x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$