线代启示录 | 关于分块上下三角矩阵一个性质的证明

今天在论文中看到一句话,“the determinant of a block triangular matrix is given by the product of the determinants of the diagonal submatrices”,翻译过来就是“分块上下三角矩阵的行列式等于对角线子矩阵行列式的乘积”。
为了证明这个性质,我们先来证明行列式的几个其他性质。

首先给出行列式的定义,

定义

n阶方阵 \(A\) 的行列式可定义为

其中,$(i_1i_2\cdots i_n)$为行标的某一排列,$\tau(\cdot)$表示排列的逆序数。

给出矩阵

性质1

交换行列式的任意两行(列),行列式的值变号。
证:
设 \(A\) 为n阶行列式,不妨对第$k$列和第$l$列作列交换($k<l$),得到 \(B\),其中

由行列式定义,

性质2

若A中有相同的两列(行),则$det A = 0$
证:

性质3

Algebra | 共轭转置与 Hermite 矩阵

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